
如圖,在正方形ABCD中,點G在對角線BD上(不與點B,D重合),GE⊥DC于點E,GF⊥BC于點F,連結(jié)AG.
(1)寫出線段AG,GE,GF長度之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)若正方形ABCD的邊長為1,∠AGF=105°,求線段BG的長.

解:(1)結(jié)論:AG2=GE2+GF2.
理由:連接CG.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴A、C關(guān)于對角線BD對稱,
∵點G在BD上,
∴GA=GC,
∵GE⊥DC于點E,GF⊥BC于點F,
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,
∴四邊形EGFC是矩形,
∴CF=GE,
在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,
∴AG2=GF2+GE2.
(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一點M,
使得AM=BM.設(shè)AN=x.
∵∠AGF=105°,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,
∴∠AGB=60°,∠GBN=30°,∠ABM=∠MAB=15°,
∴∠AMN=30°,

題干分析:
(1)結(jié)論:AG2=GE2+GF2.只要證明GA=GC,四邊形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可證明;
(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一點M,使得AM=BM.設(shè)AN=x.易證AM=BM=2x,MN,在Rt△ABN中,根據(jù)AB2=AN2+BN2,可得方程2,解得x=的值,推出BN的值,再根據(jù)BG=BN÷cos30°即可解決問題;
解題反思:
本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理直角三角形30度的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題,屬于中考常考題型。
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